UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Khóa ngày 25/11/2008
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 02 trang, gồm 07 câu.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1: (2,0điểm)
Giải phương trình:
= 4
Câu 2: (3,0 điểm)
Trên các cạnh AB, BC, CA của một tam giác ABC có diện tích S người ta chọn lần lượt các điểm M, N, P thoả mãn điều kiện:
với k là số thực dương cho trước.
Tính diện tích của tam giác MNP theo k và S.
Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất.
Câu 3: (3,0 điểm)
Tìm một cặp số nguyên dương (a, b) thoả mãn các điều kiện sau:
Tích ab(a + b) không chia hết cho 7;

chia hết cho
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:


Câu 5: (3,0 điểm)
Tìm hàm f:
, biết rằng
với mọi x, y thuộc đoạn
.


Câu 6: (3,0 điểm)
Cho phương trình
với n nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình có một cặp nghiệm nguyên (x, y) thì nó có ít nhất ba cặp nghiệm nguyên.
Câu 7: (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có DA = BC = a; DB = CA = b; DC = AB = c.
Tìm thể tích tứ diện ABCD.
Định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trên.
----------------------------------------------HẾT---------------------------------------------
* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
CẤP TỈNH
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Khóa ngày 25 tháng 11 năm 2008
Môn: TOÁN


Câu
Nội dung

1


( Điều kiện: x > -1
( Biến đổi về phương trình:

( Do đó: x =


2


1/( Gọi S
, S
, S
lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP, AMP.
Ta có:

Mà:

Vậy:

( Ta có:

Mà:

Vậy:

( Nên:
hay

( Vì S
, S
, S
có vai trò như nhau nên:
S
= S
= S


( Diện tích tam giác MNP bằng:


=

2/ ( Diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi hàm y =
với k > 0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: y’ =
( k >0)
Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi k = 1, khi đó y =
.
( Do đó: Diện tích tam giá MNP đạt GTNN bằng
khi k = 1.


3


( Ta có:
= 7ab( a + b)

= 7ab( a +b )

( Theo giả thiết ta suy ra:
chia hết cho
.
( Chọn: a = 1,
=
ta được:

Giải phương trình ta được: b = 18 hoặc b = -19 ( loại)
( Vậy cặp ( a, b) = ( 1, 18) thoả điều kiện bài toán.

4


( Đặt u =
, v = 5
( Đk: u > 0, v > 0 ) ta có hệ phương trình:




( Vì u > 0 nên 21- v
> 0 suy ra: 0 < v <

Từ (1), (2), (3) suy ra:




( Đặt f(v) =

Ta có: f(0) = -265 < 0 , f(4) = 267 > 0 nên f(0).f(4) < 0
f`(v) =

f’’(v) =
với mọi v

( Vậy f(v) là hàm tăng trên (0;
)
( Do đó: f(v) = 0 có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0;
).
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.


5


( Ta có:
với mọi a, b thuộc [a; b]. (1)
Mà: f(a), f(b) thuộc [a; b] nên